Druga Prędkość Kosmiczna
Druga prędkość kosmiczna, znana także jako prędkość ucieczki, to minimalna prędkość, którą ciało musi osiągnąć, aby całkowicie przezwyciężyć siłę grawitacji planety i opuścić jej pole bez dodatkowego napędu.
1. Wstęp do Drugiej Prędkości Kosmicznej
Aby ciało mogło uciec z pola grawitacyjnego planety, energia kinetyczna musi zrównoważyć jej potencjalną energię grawitacyjną. Prędkość ta jest \(\sqrt{2}\) razy wyższa od pierwszej prędkości kosmicznej, dla dla danego ciała.
2. Wyprowadzenie Wzoru
Wzór na drugą prędkość kosmiczną to:
Rozważamy całkowitą energię mechaniczną \( E \), która składa się z:
- Energia kinetyczna: \( E_k = \frac{1}{2} mv^2 \)
- Energia potencjalna grawitacyjna: \( E_p = -\frac{GMm}{R} \)
Aby ciało mogło opuścić pole grawitacyjne planety, całkowita energia \( E \) musi wynosić co najmniej zero:
Podstawiamy wyrażenia dla energii:
Rozwiązujemy równanie dla \( v \):
I otrzymujemy wzór drugą prędkość kosmiczną:
3. Zastosowanie Drugiej Prędkości Kosmicznej
Prędkość ucieczki ma zastosowanie w planowaniu misji kosmicznych, takich jak opuszczenie orbity Ziemi, loty na Księżyc czy eksploracja Marsa. Przy tej prędkości rakiety mogą całkowicie pokonać grawitację planety.
4. Obliczenia i Przykłady
Przykład: Oblicz drugą prędkość kosmiczną dla Ziemi. Podstawowe dane:
- Stała grawitacji \( G = 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \)
- Masa Ziemi \( M = 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \)
- Promień Ziemi \( R = 6.371 \cdot 10^6 \, \text{m} \)
Wzór: \( v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \)
Jest to prędkość, którą muszą osiągnąć statki kosmiczne, aby opuścić Ziemię.