\(v_k = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\)

\(v_k\) - Prędkość Końcowa

\(h\) - Wysokość Początkowa

\(g\) - Przyśpieszenie Grawitacyjne

Ciało o masie \(m\) znajduje się na wysokości \(h\) względem dołu równi.

Energia potencjalna ciała na tej wysokości to \(mgh\), gdzie:

\(m\) - masa ciała

\(g\) - przyspieszenie ziemskie

\(h\) - wysokość

Energia kinetyczna ciała to \(\frac{1}{2}mv^2\), gdzie \(v\) to prędkość ciała.

Zasada zachowania energii: \(mgh = \frac{1}{2}mv^2\)

Uprośćmy wzór, eliminując masę \(m\) z obu stron: \(gh = \frac{1}{2}v^2\)

Pomnóżmy obustronnie przez 2: \(v^2 = 2gh\)

Weź pierwiastek z obu stron: \(v = \sqrt{2gh}\)

Ciało na początku posiada energię potencjalną związana z wysokością na równi. W miarę spadania ta energia zamienia się na energię kinetyczną. Z uwzględnieniem pracy wykonanej przez siłę tarcia, równanie tego procesu można zapisać jako:

\(mgh - \frac{mv^2}{2} = W\)

Gdzie:

• \(m\) - masa ciała,
• \(g\) - przyspieszenie ziemskie,
• \(h\) - wysokość,
• \(v\) - prędkość,
• \(W\) - praca siły tarcia.

Zakładamy, że siła tarcia \(F_{\text{tarcia}}\) wynosi \(N \cdot \mu_k\), gdzie \(N\) to nacisk na równi, a \(\mu_k\) to współczynnik tarcia kinetycznego. Nacisk \(N\) można wyrazić jako \(mg \cos(\theta)\), gdzie \(\theta\) to kąt nachylenia równi. Praca siły tarcia \(W\) wynosi \(s \cdot F_{\text{tarcia}}\), gdzie \(s\) to odległość. Podstawiając \(s = \frac{h}{\sin(\theta)}\), otrzymujemy:

\(mgh - \frac{mv^2}{2} = mg \cos(\theta) \cdot \mu_k \cdot \frac{h}{\sin(\theta)}\)

Uporządkowując i skracając masy, ostateczny wzór na prędkość \(v_k\) to:

\(v_k = \sqrt{2gh \cdot \left(1 - \frac{\mu_k}{\tan(\theta)}\right)}\)