Z wysokością początkową:

\( z = v_0 \cdot \cos(\alpha) \left[\frac{v_0 \cdot \sin(\alpha)}{g} + \sqrt{\frac{2 \cdot \left(h_0 + v_0^2 \cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{2g}\right)}{g}}\right] \)

Bez wysokości początkowej:

\( z = \frac{2 \cdot V_0^2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{g} \)

Legenda:

\(z\) - Zasięg

\(v_0\) - Prędkość Początkowa

\(h\) - Wysokość Początkowa

\(g\) - Przyśpieszenie Grawitacyjne

\(\alpha\) - Kąt Rzutu

Bez wysokości początkowej:

Ruch poziomy opisuje równanie \(x = V_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t\), gdzie \(x\) to odległość, \(V_0\) to początkowa prędkość, \(\alpha\) to kąt rzutu, a \(t\) to czas lotu.

Ruch pionowy opisuje równanie \(y = V_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2\), gdzie \(y\) to wysokość, \(V_0\) to początkowa prędkość, \(\alpha\) to kąt rzutu, \(g\) to przyspieszenie ziemskie, a \(t\) to czas lotu.

Możemy również uzyskać wyrażenie dla zasięgu (\(z\)):

\[ z = V_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t \]

A czas lotu (\(t\)) można uzyskać z równania:

\[ t = \frac{2 \cdot V_0 \cdot \sin(\alpha)}{g} \]

Podstawiając to wyrażenie za czas lotu do wzoru na zasięg, otrzymujemy:

\[ z = \frac{2 \cdot V_0^2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{g} \]

Możemy również zauważyć, że \(2 \cdot V_0^2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\) jest równoważne \(V_0^2 \cdot \sin(2\alpha)\).

Z wysokością początkową:

Dla rzutu poziomego, gdzie opory powietrza są zaniedbywane:

Czas wznoszenia (\(t_1\)) możemy obliczyć ze wzoru ruchu pionowego: \(t_1 = \frac{V \cdot \sin(\theta)}{g}\), co wynika z faktu, że czas wznoszenia to czas potrzebny na pokonanie składowej pionowej prędkości początkowej.

Czas opadania (\(t_2\)) możemy obliczyć ze wzoru na czas ruchu swobodnego spadającego ciała: \(t_2 = \sqrt{\frac{2h_c}{g}}\), co wynika z faktu, że czas opadania to czas potrzebny, aby ciało wróciło na poziom terenu z pewnej wysokości maksymalnej \(h_c\).

Możemy również uwzględnić, że wysokość maksymalna (\(h_c\)) jest sumą wysokości początkowej (\(h_o\)) i zmiany wysokości podczas wnoszenia (\(h_2\)), co można zapisać jako \(h_c = h_o + h_2\).

Podstawiając za \(h_2\) do wzoru na \(t_2\), otrzymujemy: \(t_2 = \sqrt{\frac{2(h_o + h_2)}{g}}\).

W rzucie poziomym składowa pionowa prędkości (\(V_y\)) to \(V_0 \cdot \sin(\alpha)\).

Wzór na wysokość zdobytą podczas wnoszenia (\(h_2\)) dla ruchu opadającego to \(h_2 = \frac{1}{2} g t^2\), gdzie \(t\) to czas opadania.

Podstawiając \(t = \frac{V_y}{g}\) (czas opadania), otrzymujemy \(h = \frac{V_0^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{2g}\).

Jeśli przyjmiemy \(h_2 = \frac{V_o^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{2g}\), możemy podstawić to wyrażenie do wzoru na \(t_2\), co daje: \(t_2 = \sqrt{\frac{2(h_o + \frac{V_o^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{2g})}{g}}\).

Podstawiając wcześniej obliczone wartości za \(t_1\) i \(t_2\) do wzoru, otrzymujemy: \[ z = V_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot (t_1 + t_2) \]

Co można dalej rozwijać, uwzględniając wyznaczone wcześniej wartości dla \(t_1\) i \(t_2\).

Zadanie id: #8. Chłopiec stojący na krawędzi wzniesienia o wysokości 2m, kopie piłkę, która leci pod kątem 40° do poziomu. Oblicz jak daleko piłka poleci (licząc od podnóża wzniesienia), zakładając że prędkość początkowa piłki wynosiła 20m/s. Przyjmij że g=10m/s² i zaniedbaj opory powietrza.

Odpowiedź:

z ≈ 42m