Zasięg W Rzucie Ukośnym

Z wysokością początkową:

$z=v_0\cdot \cos (\alpha )[\frac{v_0\cdot \sin (\alpha )}{g}+\sqrt{\frac{2\cdot (h_0+v_0^2\cdot \frac{{\sin }^2(\alpha )}{2g})}{g}}]$

Bez wysokości początkowej:

$z=\frac{2\cdot V_0^2\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )}{g}$

Legenda:

$z$ - Zasięg

$v_0$ - Prędkość Początkowa

$h$ - Wysokość Początkowa

$g$ - Przyśpieszenie Grawitacyjne

$\alpha$ - Kąt Rzutu

Bez wysokości początkowej:

Ruch poziomy opisuje równanie $x=V_0\cdot \cos (\alpha )\cdot t$, gdzie $x$ to odległość, $V_0$ to początkowa prędkość, $\alpha$ to kąt rzutu, a $t$ to czas lotu.

Ruch pionowy opisuje równanie $y=V_0\cdot \sin (\alpha )\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$, gdzie $y$ to wysokość, $V_0$ to początkowa prędkość, $\alpha$ to kąt rzutu, $g$ to przyspieszenie ziemskie, a $t$ to czas lotu.

Możemy również uzyskać wyrażenie dla zasięgu ($z$):

$$z=V_0\cdot \cos (\alpha )\cdot t$$

A czas lotu ($t$) można uzyskać z równania:

$$t=\frac{2\cdot V_0\cdot \sin (\alpha )}{g}$$

Podstawiając to wyrażenie za czas lotu do wzoru na zasięg, otrzymujemy:

$$z=\frac{2\cdot V_0^2\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )}{g}$$

Możemy również zauważyć, że $2\cdot V_0^2\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )$ jest równoważne $V_0^2\cdot \sin (2\alpha )$.

Z wysokością początkową:

Dla rzutu poziomego, gdzie opory powietrza są zaniedbywane:

Czas wznoszenia ($t_1$) możemy obliczyć ze wzoru ruchu pionowego: $t_1=\frac{V\cdot \sin (\theta )}{g}$, co wynika z faktu, że czas wznoszenia to czas potrzebny na pokonanie składowej pionowej prędkości początkowej.

Czas opadania ($t_2$) możemy obliczyć ze wzoru na czas ruchu swobodnego spadającego ciała: $t_2=\sqrt{\frac{2h_c}{g}}$, co wynika z faktu, że czas opadania to czas potrzebny, aby ciało wróciło na poziom terenu z pewnej wysokości maksymalnej $h_c$.

Możemy również uwzględnić, że wysokość maksymalna ($h_c$) jest sumą wysokości początkowej ($h_o$) i zmiany wysokości podczas wnoszenia ($h_2$), co można zapisać jako $h_c=h_o+h_2$.

Podstawiając za $h_2$ do wzoru na $t_2$, otrzymujemy: $t_2=\sqrt{\frac{2(h_o+h_2)}{g}}$.

W rzucie poziomym składowa pionowa prędkości ($V_y$) to $V_0\cdot \sin (\alpha )$.

Wzór na wysokość zdobytą podczas wnoszenia ($h_2$) dla ruchu opadającego to $h_2=\frac{1}{2}g{t}^2$, gdzie $t$ to czas opadania.

Podstawiając $t=\frac{V_y}{g}$ (czas opadania), otrzymujemy $h=\frac{V_0^2\cdot {\sin }^2(\alpha )}{2g}$.

Jeśli przyjmiemy $h_2=\frac{V_o^2\cdot {\sin }^2(\alpha )}{2g}$, możemy podstawić to wyrażenie do wzoru na $t_2$, co daje: $t_2=\sqrt{\frac{2(h_o+\frac{V_o^2\cdot {\sin }^2(\alpha )}{2g})}{g}}$.

Podstawiając wcześniej obliczone wartości za $t_1$ i $t_2$ do wzoru, otrzymujemy: $$z=V_0\cdot \cos (\alpha )\cdot (t_1+t_2)$$

Co można dalej rozwijać, uwzględniając wyznaczone wcześniej wartości dla $t_1$ i $t_2$.

Zadanie id: #8. Chłopiec stojący na krawędzi wzniesienia o wysokości 2m, kopie piłkę, która leci pod kątem 40° do poziomu. Oblicz jak daleko piłka poleci (licząc od podnóża wzniesienia), zakładając że prędkość początkowa piłki wynosiła 20m/s. Przyjmij że g=10m/s² i zaniedbaj opory powietrza.

Odpowiedź:

z ≈ 42m