Zasięg wyznaczamy, korzystając z równania poziomego \( x = v_0 \cdot t \), przy założeniu, że czas \( t \) to całkowity czas lotu, który obliczamy z pionowego równania ruchu.

Czas lotu wynika z równania pionowego \( y = \frac{1}{2} g t^2 \), gdzie wysokość wynosi \( h \).

Wyprowadzenie wzoru na zasięg \( z \) dla rzutu ukośnego bez wysokości początkowej bazuje na rozkładzie prędkości początkowej na składowe poziome i pionowe oraz całkowitym czasie lotu.

Ruch pocisku można opisać za pomocą równań składowych:

• Ruch poziomy: \( x = V_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t \)
• Ruch pionowy: \( y = V_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)

gdzie:

• \( V_0 \) – początkowa prędkość,
• \( \alpha \) – kąt rzutu,
• \( g \) – przyspieszenie ziemskie,
• \( t \) – czas lotu.

Czas lotu \( t \) dla rzutu ukośnego można obliczyć, analizując równanie pionowe. Całkowity czas lotu to dwukrotność czasu wznoszenia do maksymalnej wysokości, gdzie prędkość pionowa osiąga zero:

Zasięg \( z \) to maksymalna odległość pozioma osiągnięta przez ciało, opisana równaniem poziomego ruchu z prędkością \( V_0 \cdot \cos(\alpha) \) przez czas całkowity \( t \):

Podstawiając wyrażenie dla czasu lotu \( t = \frac{2 \cdot V_0 \cdot \sin(\alpha)}{g} \) do równania zasięgu, otrzymujemy:

Zastosowując tożsamość trygonometryczną \( 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha) \), możemy uprościć wzór na zasięg:

Ostateczny wzór pokazuje, że zasięg zależy od kwadratu prędkości początkowej, kąta rzutu oraz przyspieszenia ziemskiego.

Czas lotu wynika z równania pionowego, gdy ciało wraca do poziomu początkowego.

W celu wyprowadzenia wzoru na zasięg \( z \) w rzucie ukośnym, uwzględniamy składowe prędkości początkowej oraz czas wznoszenia i opadania ciała.

Czas wznoszenia \( t_1 \) jest czasem potrzebnym do osiągnięcia maksymalnej wysokości, gdzie prędkość pionowa maleje do zera. Korzystamy ze składowej pionowej prędkości początkowej \( V \cdot \sin(\theta) \):

Czas opadania \( t_2 \) to czas swobodnego spadku z maksymalnej wysokości \( h_c \) do poziomu początkowego. Przyjmując, że opór powietrza jest zaniedbywany, czas ten wynosi:

Maksymalna wysokość \( h_c \) jest sumą wysokości początkowej \( h_o \) i zmiany wysokości podczas wznoszenia \( h_2 \):

Wysokość osiągnięta podczas wznoszenia \( h_2 \) wynika z pionowej składowej ruchu wznoszącego i jest opisana wzorem:

Zastępując \( h_c \) jako \( h_o + h_2 \), otrzymujemy dla \( t_2 \):

Całkowity czas lotu \( t \) jest sumą czasu wznoszenia \( t_1 \) i czasu opadania \( t_2 \):

Zasięg \( z \) wynika z poziomego ruchu jednostajnego z prędkością \( V \cdot \cos(\theta) \), przez czas całkowity \( t \):

Podstawiając wcześniej wyznaczone wartości \( t_1 \) i \( t_2 \) do wzoru na \( z \), możemy wyznaczyć ostateczną wartość zasięgu rzutu.

Czas lotu można wyprowadzić, rozpatrując dwie fazy ruchu. W pierwszej fazie, czas \( t_1 \) opisuje moment, gdy siła grawitacji całkowicie zrównoważy pionową składową prędkości początkowej, co wyznacza czas wznoszenia:

\( t_1 = \frac{v_0 \cdot \sin(\theta)}{g} \)

W drugiej fazie, czas \( t_2 \) opisuje czas potrzebny do opadnięcia z maksymalnej wysokości na ziemię. Ta wysokość jest sumą wysokości początkowej \( h_0 \) oraz wysokości zdobytej przez pionową składową prędkości początkowej:

\( t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot \left( h_0 + \frac{\left( v_0 \cdot \sin(\theta) \right)^2}{2 \cdot g} \right)}{g}} \)

Całkowity czas lotu \( t \) jest sumą obu tych czasów:

\( t = t_1 + t_2 \)