Krok po kroku wyprowadzenie wzoru na okres drgań:

1. Przybliżenie: Zakładamy, że kąt wychylenia \( \alpha \) jest mały, co pozwala przyjąć, że \( \sin \alpha \approx \alpha \). Wychylenie \( \alpha \) można wyrazić jako:

gdzie \( x \) to długośc łuku wychylenia, a \( l \) to długość wahadła.

2. Siła przywracająca: Siła działająca na wahadło wynosi:

dla małych kątów przybliżamy ją do postaci:

3. Równanie ruchu: Z prawa Hooke'a dla ruchu harmonicznego wiemy, że siła sprężystości wyraża się jako:

Przyrównując do wcześniej wyznaczonej siły \( F_x \), otrzymujemy:

Z tego wyznaczamy stałą sprężystości \( k \):

4. Podstawienie do wzoru: Wzór na częstość kątową drgań harmonicznych to:

Podstawiając \( k = \frac{mg}{l} \), otrzymujemy:

a zatem:

5. Wzór na okres: Częstość kątowa \( \omega \) jest związana z okresem \( T \) zależnością:

Podstawiając \( \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \), uzyskujemy końcowy wzór:

Ostateczny wzór pokazuje, że okres wahadła matematycznego zależy tylko od długości \( l \) i przyspieszenia ziemskiego \( g \), niezależnie od masy wahadła.

Aby obliczyć częstotliwość drgań wahadła, używamy wzoru na okres drgań wahadła matematycznego:

Częstotliwość \( f \) jest odwrotnością okresu:

Podstawiając wartości: \( l = 1 \, \text{m} \) i \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \), otrzymujemy:

Odpowiedź: Częstotliwość drgań wahadła wynosi około \( 0.498 \, \text{Hz} \).

Aby okres drgań wahadła był taki sam, musi być spełniona równość okresów. Wzór na okres drgań wahadła matematycznego jest:

Aby okres drgań na Marsie był taki sam jak na Ziemi, mamy:

Po uproszczeniu otrzymujemy:

Podnosząc do kwadratu obie strony, mamy:

Przekształcamy to do postaci:

Podstawiając wartości: \( l_{\text{Ziemia}} = 1 \, \text{m} \), \( a_{\text{Mars}} = 3.71 \, \text{m/s}^2 \), \( g_{\text{Ziemia}} = 9.81 \, \text{m/s}^2 \), otrzymujemy:

Odpowiedź: Wahadło na Marsie musi mieć długość około \( 0.378 \, \text{m} \), aby miało taki sam okres drgań jak wahadło o długości \( 1 \, \text{m} \) na Ziemi.