| Kategoria | Wzór | Opis Wzoru |
|---|---|---|
| Fale | ||
| Energia fali | \( E = \frac{m \omega^2 A^2}{2} = \frac{4\pi^2 m f^2 A^2}{2} \) | |
Legenda Wzoru:\( m \) - masa cząstki ośrodka \( \omega \) - częstość kołowa \( f \) - częstotliwość \( A \) - amplituda Opis:
Wzór ten opisuje energię, którą niesie fala harmoniczna. Energia zależy od masy cząstki, częstości oraz amplitudy drgań. |
||
| Funkcja falowa | \( y = A \sin \left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{vT} \right) \right) = A \sin \left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) \) | |
Legenda Wzoru:\( A \) - amplituda \( T \) - okres fali \( v \) - prędkość fali \( \lambda \) - długość fali Opis:
Jest to funkcja opisująca falę harmoniczną przemieszczającą się w przestrzeni. Określa ona wychylenie w dowolnym punkcie i czasie. |
||
| Faza fali | \( \varphi = 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{vT} \right) = 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \) | |
Legenda Wzoru:\( \varphi \) - faza fali \( x \) - położenie \( T \) - okres fali \( \lambda \) - długość fali Opis:
Faza określa stan drgań cząstki ośrodka w danym punkcie i czasie. Pozwala przewidzieć wartości wychylenia w danym momencie. |
||
| Jednakowe wychylenie fali | \( \sin \alpha = \sin (2\pi n + \alpha) \) | |
Legenda Wzoru:\( \alpha \) - faza drgań \( n \) - liczba całkowita Opis:
Wzór ten pokazuje, że funkcja sinusoidalna powtarza się cyklicznie co pełny okres (2π). Wartości wychylenia powtarzają się co pełną długość fali. |
||
| Równanie fali biegnącej | \( y = A \sin \left( 2\pi \frac{t}{T} - 2\pi \frac{x}{vT} + \varphi_0 \right) = A \sin \left( 2\pi \frac{t}{T} - 2\pi \frac{x}{\lambda} + \varphi_0 \right) \) | |
Legenda Wzoru:\( \varphi_0 \) - faza początkowa \( A \) - amplituda \( T \) - okres fali \( \lambda \) - długość fali \( v \) - prędkość fali Opis:
Równanie opisuje falę poruszającą się w określonym kierunku. Uwzględnia ono fazę początkową oraz zależność od czasu i położenia. |
||
| Interferencja fal | ||
| Interferencja fal płaskich | \( y = 2A \cos \left( \frac{\varphi_0}{t} \right) \sin \left( \omega \left( t - \frac{x}{v} \right) + \frac{\varphi_0}{2} \right) \) | |
Legenda Wzoru:\( A \) - amplituda \( \varphi_0 \) - różnica fazowa \( \omega \) - częstość kołowa \( v \) - prędkość fali \( x \) - położenie Opis:
Wzór opisuje interferencję dwóch fal płaskich o tej samej amplitudzie i częstotliwości. Uwzględnia różnicę fazową między falami. |
||
| Fale stojące | \( y = y_1 + y_2 = 2A \cos \left( \frac{\omega x}{v} + \frac{\varphi_0}{2} \right) \sin \left( \omega t + \frac{\varphi_0}{2} \right) \) | |
Legenda Wzoru:\( y_1, y_2 \) - fale biegnące w przeciwnych kierunkach \( A \) - amplituda \( \omega \) - częstość kołowa \( v \) - prędkość fali \( x \) - położenie Opis:
Wzór opisuje falę stojącą jako wynik interferencji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. |
||
| Amplituda fali stojącej | \( A' = 2A \cos \left( \frac{\omega x}{v} + \frac{\varphi_0}{2} \right) \) | |
Legenda Wzoru:\( A' \) - amplituda fali stojącej \( A \) - amplituda fali składowej \( \omega \) - częstość kołowa \( v \) - prędkość fali \( x \) - położenie Opis:
Amplituda fali stojącej zależy od położenia i częstości fali. Maksimum amplitudy występuje w miejscach, gdzie \( \cos \) osiąga wartość 1. |
||
| Maksymalne osłabienie fali | \( r_2 - r_1 = \frac{(2n+1) \lambda}{2}, \quad d \sin \alpha = (2n+1) \frac{\lambda}{2} \) | |
Legenda Wzoru:\( r_1, r_2 \) - drogi optyczne fal \( \lambda \) - długość fali \( n \) - liczba całkowita \( d \) - odległość między szczelinami \( \alpha \) - kąt interferencji Opis:
Wzór opisuje warunek osłabienia (destruktywnej interferencji), gdy różnica dróg optycznych wynosi nieparzystą wielokrotność połowy długości fali. |
||
| Maksymalne wzmocnienie fali | \( r_2 - r_1 = n \lambda, \quad d \sin \alpha = n \lambda \) | |
Legenda Wzoru:\( r_1, r_2 \) - drogi optyczne fal \( \lambda \) - długość fali \( n \) - liczba całkowita \( d \) - odległość między szczelinami \( \alpha \) - kąt interferencji Opis:
Wzór opisuje warunek wzmocnienia (konstruktywnej interferencji), gdy różnica dróg optycznych fal jest całkowitą wielokrotnością długości fali. |
||
| Zjawisko Dopplea | ||
| Źródło zbliża się do stojącego odbiornika | \( f' = f \frac{v_f}{v_f - v_z} \) | |
Legenda Wzoru:\( f' \) - częstotliwość odbierana \( f \) - częstotliwość nadawana przez źródło \( v_f \) - prędkość fali w ośrodku \( v_z \) - prędkość źródła Opis:
Gdy źródło dźwięku zbliża się do nieruchomego odbiornika, fala ulega zagęszczeniu, a częstotliwość odbierana rośnie. |
||
| Odbiornik zbliża się do stojącego źródła | \( f' = f \frac{v_f + v_{\text{odb}}}{v_f} \) | |
Legenda Wzoru:\( v_{\text{odb}} \) - prędkość odbiornika Opis:
Gdy odbiornik porusza się w kierunku nieruchomego źródła, odbiera fale częściej, co zwiększa odbieraną częstotliwość. |
||
| Ruch odbiornika i źródła | \( f' = f \frac{v_f \pm v_{\text{odb}}}{v_f \mp v_z} \) | |
Legenda Wzoru:\( \pm v_{\text{odb}} \) - prędkość odbiornika (plus gdy zbliża się, minus gdy oddala się) \( \mp v_z \) - prędkość źródła (minus gdy zbliża się, plus gdy oddala się) Opis:
Jeśli zarówno źródło, jak i odbiornik się poruszają, zmiana częstotliwości zależy od ich wzajemnego ruchu. - **Źródło zbliża się** → ułamek w mianowniku maleje (częstotliwość wzrasta). - **Źródło oddala się** → mianownik rośnie (częstotliwość maleje). - **Odbiornik zbliża się** → licznik rośnie (częstotliwość wzrasta). - **Odbiornik oddala się** → licznik maleje (częstotliwość maleje). |
||
| Kategoria | Wzór | Opis Wzoru |
|---|---|---|
| Fale | ||
| Energia fali | \( E = \frac{m \omega^2 A^2}{2} = \frac{4\pi^2 m f^2 A^2}{2} \) |
Legenda Wzoru:\( m \) - masa cząstki ośrodka \( \omega \) - częstość kołowa \( f \) - częstotliwość \( A \) - amplituda Opis:
Wzór ten opisuje energię, którą niesie fala harmoniczna. Energia zależy od masy cząstki, częstości oraz amplitudy drgań. |
| Funkcja falowa | \( y = A \sin \left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{vT} \right) \right) = A \sin \left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) \) |
Legenda Wzoru:\( A \) - amplituda \( T \) - okres fali \( v \) - prędkość fali \( \lambda \) - długość fali Opis:
Jest to funkcja opisująca falę harmoniczną przemieszczającą się w przestrzeni. Określa ona wychylenie w dowolnym punkcie i czasie. |
| Faza fali | \( \varphi = 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{vT} \right) = 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \) |
Legenda Wzoru:\( \varphi \) - faza fali \( x \) - położenie \( T \) - okres fali \( \lambda \) - długość fali Opis:
Faza określa stan drgań cząstki ośrodka w danym punkcie i czasie. Pozwala przewidzieć wartości wychylenia w danym momencie. |
| Jednakowe wychylenie fali | \( \sin \alpha = \sin (2\pi n + \alpha) \) |
Legenda Wzoru:\( \alpha \) - faza drgań \( n \) - liczba całkowita Opis:
Wzór ten pokazuje, że funkcja sinusoidalna powtarza się cyklicznie co pełny okres (2π). Wartości wychylenia powtarzają się co pełną długość fali. |
| Równanie fali biegnącej | \( y = A \sin \left( 2\pi \frac{t}{T} - 2\pi \frac{x}{vT} + \varphi_0 \right) = A \sin \left( 2\pi \frac{t}{T} - 2\pi \frac{x}{\lambda} + \varphi_0 \right) \) |
Legenda Wzoru:\( \varphi_0 \) - faza początkowa \( A \) - amplituda \( T \) - okres fali \( \lambda \) - długość fali \( v \) - prędkość fali Opis:
Równanie opisuje falę poruszającą się w określonym kierunku. Uwzględnia ono fazę początkową oraz zależność od czasu i położenia. |
| Interferencja fal | ||
| Interferencja fal płaskich | \( y = 2A \cos \left( \frac{\varphi_0}{t} \right) \sin \left( \omega \left( t - \frac{x}{v} \right) + \frac{\varphi_0}{2} \right) \) |
Legenda Wzoru:\( A \) - amplituda \( \varphi_0 \) - różnica fazowa \( \omega \) - częstość kołowa \( v \) - prędkość fali \( x \) - położenie Opis:
Wzór opisuje interferencję dwóch fal płaskich o tej samej amplitudzie i częstotliwości. Uwzględnia różnicę fazową między falami. |
| Fale stojące | \( y = y_1 + y_2 = 2A \cos \left( \frac{\omega x}{v} + \frac{\varphi_0}{2} \right) \sin \left( \omega t + \frac{\varphi_0}{2} \right) \) |
Legenda Wzoru:\( y_1, y_2 \) - fale biegnące w przeciwnych kierunkach \( A \) - amplituda \( \omega \) - częstość kołowa \( v \) - prędkość fali \( x \) - położenie Opis:
Wzór opisuje falę stojącą jako wynik interferencji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. |
| Amplituda fali stojącej | \( A' = 2A \cos \left( \frac{\omega x}{v} + \frac{\varphi_0}{2} \right) \) |
Legenda Wzoru:\( A' \) - amplituda fali stojącej \( A \) - amplituda fali składowej \( \omega \) - częstość kołowa \( v \) - prędkość fali \( x \) - położenie Opis:
Amplituda fali stojącej zależy od położenia i częstości fali. Maksimum amplitudy występuje w miejscach, gdzie \( \cos \) osiąga wartość 1. |
| Maksymalne osłabienie fali | \( r_2 - r_1 = \frac{(2n+1) \lambda}{2}, \quad d \sin \alpha = (2n+1) \frac{\lambda}{2} \) |
Legenda Wzoru:\( r_1, r_2 \) - drogi optyczne fal \( \lambda \) - długość fali \( n \) - liczba całkowita \( d \) - odległość między szczelinami \( \alpha \) - kąt interferencji Opis:
Wzór opisuje warunek osłabienia (destruktywnej interferencji), gdy różnica dróg optycznych wynosi nieparzystą wielokrotność połowy długości fali. |
| Maksymalne wzmocnienie fali | \( r_2 - r_1 = n \lambda, \quad d \sin \alpha = n \lambda \) |
Legenda Wzoru:\( r_1, r_2 \) - drogi optyczne fal \( \lambda \) - długość fali \( n \) - liczba całkowita \( d \) - odległość między szczelinami \( \alpha \) - kąt interferencji Opis:
Wzór opisuje warunek wzmocnienia (konstruktywnej interferencji), gdy różnica dróg optycznych fal jest całkowitą wielokrotnością długości fali. |
| Zjawisko Dopplera | ||
| Źródło zbliża się do stojącego odbiornika | \( f' = f \frac{v_f}{v_f - v_z} \) |
Legenda Wzoru:\( f' \) - częstotliwość odbierana \( f \) - częstotliwość nadawana przez źródło \( v_f \) - prędkość fali w ośrodku \( v_z \) - prędkość źródła Opis:
Gdy źródło dźwięku zbliża się do nieruchomego odbiornika, fala ulega zagęszczeniu, a częstotliwość odbierana rośnie. |
| Odbiornik zbliża się do stojącego źródła | \( f' = f \frac{v_f + v_{\text{odb}}}{v_f} \) |
Legenda Wzoru:\( v_{\text{odb}} \) - prędkość odbiornika Opis:
Gdy odbiornik porusza się w kierunku nieruchomego źródła, odbiera fale częściej, co zwiększa odbieraną częstotliwość. |
| Ruch odbiornika i źródła | \( f' = f \frac{v_f \pm v_{\text{odb}}}{v_f \mp v_z} \) |
Legenda Wzoru:\( \pm v_{\text{odb}} \) - prędkość odbiornika (plus gdy zbliża się, minus gdy oddala się) \( \mp v_z \) - prędkość źródła (minus gdy zbliża się, plus gdy oddala się) Opis:
Jeśli zarówno źródło, jak i odbiornik się poruszają, zmiana częstotliwości zależy od ich wzajemnego ruchu. |
Quiz - Fale mechaniczne
Fale Mechaniczne
Fale mechaniczne to rozchodzące się w ośrodku zaburzenia, które przenoszą energię bez przenoszenia materii. Mogą być podłużne lub poprzeczne, a ich propagacja wymaga obecności medium, takiego jak powietrze, woda czy ciało stałe.
Fale mechaniczne dzielą się na poprzeczne i podłużne. W falach poprzecznych drgania cząsteczek ośrodka zachodzą prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali (np. fale na wodzie), natomiast w falach podłużnych drgania cząsteczek zachodzą wzdłuż kierunku propagacji (np. fale dźwiękowe w powietrzu).
Podstawowe wielkości opisujące fale mechaniczne to:
- Długość fali \( \lambda \) – odległość między kolejnymi grzbietami lub zagęszczeniami fali.
- Okres \( T \) – czas potrzebny na pełne powtórzenie się jednego cyklu drgań.
- Częstotliwość \( f \) – liczba drgań na sekundę, związana z okresem zależnością \( f = \frac{1}{T} \).
- Prędkość fali \( v \) – dana wzorem: \[ v = \lambda f. \]
W przypadku fal dźwiękowych, ich prędkość zależy od ośrodka – w powietrzu wynosi około \( 343 \) m/s, natomiast w wodzie i ciałach stałych jest znacznie większa.
Właściwości fal mechanicznych obejmują odbicie (zmiana kierunku na granicy ośrodków), załamanie (zmiana prędkości i kierunku fali przy przejściu do innego ośrodka), dyfrakcję (ugięcie fali na przeszkodach) oraz interferencję (nakładanie się fal prowadzące do wzmocnienia lub wygaszenia).
Ciekawostką związaną z falami mechanicznymi jest to, że dźwięk nie może się rozchodzić w próżni, ponieważ nie ma tam cząsteczek, które mogłyby przenosić drgania. Dlatego w kosmosie panuje absolutna cisza.
Interesującym zjawiskiem jest również rezonans – sytuacja, w której obiekt zaczyna drgać z dużą amplitudą pod wpływem fali o częstotliwości równej jego częstotliwości własnej. Przykładem może być zawalenie się mostu Tacoma Narrows w 1940 roku wskutek rezonansu wzbudzonego przez wiatr.
Podsumowując, fale mechaniczne odgrywają kluczową rolę w przyrodzie i technologii – od komunikacji dźwiękowej po badania sejsmologiczne i ultradźwięki medyczne.