Legenda Wzoru:

$v_{śr}$ - Prędkość Średnia

$S_c$ - Całkowita Droga

$t_c$ - Całkowity Czas

Legenda Wzoru:

$S$ - Droga

$v$ - Prędkość

$t$ - Czas

Legenda Wzoru:

$S$ - Droga

$v_0$ - Początkowa Prędkość

$v_k$ - Końcowa Prędkość

$t$ - Czas

$a$ - Przyspieszenie

Wyprowadzenie Wzoru:

Wyprowadzenie wzoru w ruchu jednostajnie przyspieszonym polega na wykorzystaniu wykresu $v(t)$, który jest linią prostą. Droga jest równa polu trójkąta i prostokąta:

$s=s_1+s_2=v_{0}t+\frac{1}{2}(v_k-v_0)t$

Za $v_k-v_0$ możemy podstawić $\mathrm{\Delta }v$ i wykorzystać wzór na przyśpieszenie: $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{t}$, aby otrzymać ostateczny wzór:

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Legenda Wzoru:

$a$ - Przyspieszenie

$v_0$ - Prędkość Początkowa

$v_k$ - Prędkość Końcowa

$t$ - Czas

$s$ - Droga

Źródło: MikeRun

Wyprowadzenie:

Aby uzyskać wzór na przyspieszenie ($a$), możemy posłużyć się ruchem jednostajnie zmiennym i podstawowymi równaniami kinematycznymi:

W pierwszym przypadku wzór $a=\frac{v_k-v_0}{t}$ wynika z definicji przyspieszenia jako zmiany prędkości w stosunku do czasu.

W drugim przypadku wzór $a=\frac{(v_k-v_0{)}^2}{2s}$ można uzyskać, jeśli rozważymy wzór na prędkość końcową: $v_k=v_0+a\cdot t$ oraz wzór na drogę $S=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, to po przekształceniach otrzymujemy wzór na przyspieszenie ($a$) jako $a=\frac{(v_k-v_0{)}^2}{2s}$.

W trzecim przypadku wzór $a=\frac{2s}{t^2}$ można uzyskać, wykorzystując wzór na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym $S=\frac{1}{2}a\cdot t^2$.

Rozwiązując ten wzór względem przyspieszenia ($a$) otrzymujemy $a=\frac{2s}{t^2}$, jednak jest on poprawny tylko dla ruchu, w którym prędkość początkowa lub końcowa jest równa zeru.

Wyprowadzenie wzoru:

Zaczynamy od wzoru na przyspieszenie:

$a=\frac{\mathrm{\Delta }V}{t}$

Chcemy uzyskać wzór na czas ($t$), więc przekształcamy wzór:

$t=\frac{V_0}{a}$

Podstawiamy teraz $a=g\cdot \mu$ (przyspieszenie wynikające z oporu tarciu) i otrzymujemy:

$t=\frac{V_0}{g\cdot \mu }$

Wyprowadzenie wzoru:

Zaczynamy od wzoru na drogę w ruchu opóźnionym:

$s=V_0\cdot t-\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$

Podstawiamy $a=g\cdot \mu$ oraz $t=\frac{V_0}{g\cdot \mu }$:

$s=V_0\cdot \frac{V_0}{g\cdot \mu }-\frac{1}{2}\cdot g\cdot \mu \cdot {\left(\frac{V_0}{g\cdot \mu }\right)}^2$

Uproszczając wyrażenie, otrzymujemy:

$s=\frac{V_0^2}{2\cdot g\cdot \mu }$

Wyprowadzenie wzoru:

Wzór opisujący ruch pionowy to $h=\frac{g{t}^2}{2}$, gdzie "h" to wysokość, "g" to przyspieszenie ziemskie, a "t" to czas.

W przypadku rzutu poziomego przy braku oporów powietrza, pozioma składowa prędkości ($V_o$) jest stała. Zasięg ($z$) możemy wyznaczyć jako iloczyn $V_o$ i czasu $t$: $z=V_{o}t$.

Wyliczenie czasu:

Czas ruchu $t$ możemy uzyskać, przekształcając wzór na wysokość $h$: $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

Znając czas, możemy obliczyć zasięg: $z=V_{o}t$, gdzie $V_o$ to pozioma prędkość początkowa.

Jednostka Czasu Lotu ($t$):

1 $s$ (sekunda)

Legenda Wzoru:

$t$ - Czas całkowity lotu

$H$ - Wysokość początkowa rzutu

$v_0$ - Początkowa Prędkość pozioma

$g$ - Przyspieszenie Ziemskie

W rzucie poziomym, czas lotu zależy tylko od wysokości $H$ z jakiej ciało zostało wyrzucone i przyspieszenia ziemskiego $g$.

Czas ten można wyznaczyć z równania ruchu wzdłuż osi $y$: $$H=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Rozwiązując względem $t$, otrzymujemy: $$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$$

W przypadku rzutu poziomego czas lotu nie zależy od prędkości poziomej $v_0$, lecz tylko od wysokości $H$.

Wyprowadzenie wzoru:

Dla rzutu ukosnego bez początkowej wysokości:

Ruch poziomy opisuje równanie $x=V_0\cdot \cos (\alpha )\cdot t$, gdzie $x$ to odległość, $V_0$ to początkowa prędkość, $\alpha$ to kąt rzutu, a $t$ to czas lotu.

Ruch pionowy opisuje równanie $y=V_0\cdot \sin (\alpha )\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$, gdzie $y$ to wysokość, $V_0$ to początkowa prędkość, $\alpha$ to kąt rzutu, $g$ to przyspieszenie ziemskie, a $t$ to czas lotu.

Możemy również uzyskać wyrażenie dla zasięgu ($z$):

$$z=V_0\cdot \cos (\alpha )\cdot t$$

A czas lotu ($t$) można uzyskać z równania:

$$t=\frac{2\cdot V_0\cdot \sin (\alpha )}{g}$$

Podstawiając to wyrażenie za czas lotu do wzoru na zasięg, otrzymujemy:

$$z=\frac{2\cdot V_0^2\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )}{g}$$

Możemy również zauważyć, że $2\cdot V_0^2\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )$ jest równoważne $V_0^2\cdot \sin (2\alpha )$.

Wyprowadzenie wzoru:

Dla rzutu poziomego, gdzie opory powietrza są zaniedbywane:

Czas wznoszenia ($t_1$) możemy obliczyć ze wzoru ruchu pionowego: $t_1=\frac{V\cdot \sin (\theta )}{g}$, co wynika z faktu, że czas wznoszenia to czas potrzebny na pokonanie składowej pionowej prędkości początkowej.

Czas opadania ($t_2$) możemy obliczyć ze wzoru na czas ruchu swobodnego spadającego ciała: $t_2=\sqrt{\frac{2h_c}{g}}$, co wynika z faktu, że czas opadania to czas potrzebny, aby ciało wróciło na poziom terenu z pewnej wysokości maksymalnej $h_c$.

Możemy również uwzględnić, że wysokość maksymalna ($h_c$) jest sumą wysokości początkowej ($h_o$) i zmiany wysokości podczas wnoszenia ($h_2$), co można zapisać jako $h_c=h_o+h_2$.

Podstawiając za $h_2$ do wzoru na $t_2$, otrzymujemy: $t_2=\sqrt{\frac{2(h_o+h_2)}{g}}$.

W rzucie poziomym składowa pionowa prędkości ($V_y$) to $V_0\cdot \sin (\alpha )$.

Wzór na wysokość zdobytą podczas wnoszenia ($h_2$) dla ruchu opadającego to $h_2=\frac{1}{2}g{t}^2$, gdzie $t$ to czas opadania.

Podstawiając $t=\frac{V_y}{g}$ (czas opadania), otrzymujemy $h=\frac{V_0^2\cdot {\sin }^2(\alpha )}{2g}$.

Jeśli przyjmiemy $h_2=\frac{V_o^2\cdot {\sin }^2(\alpha )}{2g}$, możemy podstawić to wyrażenie do wzoru na $t_2$, co daje: $t_2=\sqrt{\frac{2(h_o+\frac{V_o^2\cdot {\sin }^2(\alpha )}{2g})}{g}}$.

Podstawiając wcześniej obliczone wartości za $t_1$ i $t_2$ do wzoru, otrzymujemy: $$z=V_0\cdot \cos (\alpha )\cdot (t_1+t_2)$$

Co można dalej rozwijać, uwzględniając wyznaczone wcześniej wartości dla $t_1$ i $t_2$.

Jednostka Wysokości ($H$):

1 $m$ (metr)

Legenda Wzoru:

$H$ - Wysokość Rzutu Ukośnego

$v_0$ - Początkowa Prędkość

$\alpha$ - Kąt Rzutu

$g$ - Przyspieszenie Ziemskie

Jednostka Czasu Lotu ($t$):

1 $s$ (sekunda)

Legenda Wzoru:

$t$ - Czas całkowity lotu

$v_0$ - Początkowa Prędkość

$\alpha$ - Kąt Rzutu

$g$ - Przyspieszenie Ziemskie

Ruch pionowy ciała podczas rzutu ukośnego opisuje równanie: $v_y=v_0\cdot \sin (\alpha )-g\cdot t$, gdzie $v_y$ to prędkość pionowa.

W momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości, prędkość pionowa $v_y=0$. Zatem: $$0=v_0\cdot \sin (\alpha )-g\cdot \frac{t}{2}$$

Przekształcając względem $t$, otrzymujemy czas wznoszenia: $$t_{\text{wznoszenia}}=\frac{v_0\cdot \sin (\alpha )}{g}$$

Ponieważ czas lotu obejmuje zarówno fazę wznoszenia, jak i opadania, całkowity czas lotu wynosi: $$t=2\cdot t_{\text{wznoszenia}}=\frac{2v_0\cdot \sin (\alpha )}{g}$$

Legenda Wzoru:

$a_d$ - Przyspieszenie Dośrodkowe

$v$ - Prędkość

$r$ - Promień Krzywizny Trasy

Legenda Wzoru:

$F_d$ - Siła Dośrodkowa

$m$ - Masa ciała

$v$ - Prędkość

$r$ - Promień Krzywizny Trasy

Legenda Wzoru:

$\omega$ - Szybkość Kątowa

$v$ - Prędkość Liniowa

$r$ - Promień Krzywizny Trasy

$n$ - Liczba Obrotów na Sekundę

$t$ - Czas

$T$ - Okres Obrotu

$f$ - Częstotliwość Obrotowa

$\mathrm{\Delta }\alpha$ - Kąt Obrotu

Legenda Wzoru:

$ϵ$ - Przyspieszenie Kątowe

$a$ - Przyspieszenie Liniowe

$r$ - Promień Krzywizny Trasy

$\mathrm{\Delta }\omega$ - Zmiana Prędkości Kątowej

$\mathrm{\Delta }t$ - Zmiana Czasu